Bonjour,
J'ai regardé directement sur votre boutique et j'ai reproduit le problème : en ajoutant un article au panier puis en cliquant sur "Suivant" à l'étape "Livraison", l'adresse de la page passe bien à cid-2, donc le mode de livraison que vous avez choisi a bien été enregistré, mais la page réaffiche l'étape 1. Le checkout ne peut donc jamais avancer.
C'est un bug de la 6.6.0, et non un problème de configuration de vos modes de livraison. Votre site tourne d'ailleurs en 6.6.0 et non en 6.5.2 : la version est écrite en commentaire dans le code source de vos pages, et elle y indique "version Starter : 6.6.0".
Le bug ne touche que les checkouts répartis sur plusieurs étapes, ce qui est votre cas avec vos six étapes. Les boutiques qui gardent le checkout par défaut, où tous les blocs sont sur une seule étape, ne le voient pas, d'où le fait qu'il soit passé au travers de nos tests.
Le correctif est fait de notre côté. Vous pouvez retélécharger la 6.6.0 depuis notre site et la réinstaller par dessus votre installation actuelle, le paquet contient désormais la correction.